功率谱密度(PSD)-学会了吗

功率谱密度类似于频谱(Spectrum),但在使用上一定要注意区分,否则容易闹笑话。在了解PSD之前,首先回顾一下信号的分类。信号分为能量信号和功率信号。

能量信号全名:能量有限信号。顾名思义,它是指在负无穷到正无穷时间上总能量不为零且有限的信号。典型例子:脉冲信号。

功率信号全名:功率有限信号。它是指在在负无穷到正无穷时间上功率不为零且有限的信号。典型例子:正弦波信号,噪声信号。

一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。能量信号在无穷大时间上功率为0,不满足功率信号功率不为0的定义;而功率信号在无穷大时间上能量为无穷大,不满足能量有限的定义。一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号,如下面这个信号,其功率无限能量也无限。

能量信号和功率信号的范围不包括所有的信号类型,这是因为工程上一般就是这两种,足以满足描述的需要了。

功率信号还可以细分为周期信号(如正弦波信号)和随机信号(如噪声信号)。随机信号的定义:幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号,又称不确定信号。综上,上文提到的信号分类如下图所示:

信号分类

对能量信号和周期信号,其傅里叶变换收敛,因此可以用频谱(Spectrum)来描述;对于随机信号(实际的信号基本上是随机信号),傅里叶变换不收敛,因此不能用频谱来描述,而应当使用功率谱密度(PSD)。

能量信号和周期信号通常在教学仿真中用得比较多,而工程上的信号通常都是随机信号,即使原始信号是周期信号,由于数据采集过程中存在噪声,实际获得的信号仍然会是随机信号。

如果在工程应用上用“频谱”而不是“功率谱密度”来表述,会稍显不专业,但是我感觉好像很多工程人员会把这两者混淆起来……

在实际应用中,一个信号我们不可能获得无穷长时间段内的点,对于数字信号,只能通过采样的方式获得N个离散的点。上文提到,实际信号基本上是随机信号,由于不可能对所有点进行考察,我们也就不可能获得其精确的功率谱密度,而只能利用谱估计的方法来“估计”功率谱密度。

谱估计有两种:经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将采集数据外的未知数据假设为零;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR参数模型。本文只介绍经典谱估计。

经典功率谱估计的方法有两种:周期图法(直接法)和自相关法(间接法)。周期图法是将随机信号的N个采样点视作一个能量有限信号,傅里叶变换后,取幅值平方除以N,以此作为对真实功率谱的估计。自相关法的理论基础是维纳-辛钦定理,即先对信号做自相关,然后傅里叶变换,从而得到功率谱密度。这两者的区别和联系,读者可以自行查找相关资料(不难找),或参阅以下链接:

具体使用上,可以使用MATLAB的pwelch()函数来进行周期图法的功率谱估计。Welch周期图法是修正的周期图功率谱密度的估计方法,它将信号分段加窗求其功率谱密度,然后做平均处理。

为什么要加窗以及加什么窗,读者可参阅公众号“模态空间”(知乎“linmue-谭祥军”)的文章,或者《从这里学NVH——噪声、振动、模态分析的入门与进阶》。

频谱和功率谱密度的区别:

频谱分为幅频谱和相频谱,而功率谱密度没有相位信息。频谱的单位是被测物理量的单位,如电压V,加速度g等,而功率谱密度的单位是被测物理量单位^2/Hz,如V^2/Hz,g^2/Hz等,因为功率谱密度反映的就是某一频率的能量密度。

绘图时要注意功率谱密度的单位

3. 频谱的计算方法固定,计算结果固定;功率谱密度无法精确获得,只能进行谱估计,求解方法不唯一,结果也不唯一。

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